Question

【题目】已知关于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1、x2 ， 且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2 ， 求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）=8m﹣16＞0，

解得：m＞2．

（2）解：∵原方程的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5．

∵m＞2，

∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1x2=m2+5＞0，

∴x1＞0、x2＞0．

∵x12+x22= ﹣2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2，

∴4（m+1）2﹣2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18=0，

解得：m=3

【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2（m+1）、x1x2=m2+5，结合m的取值范围即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18=0，解之即可得出m的值．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．