Question

【题目】如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标

（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析

【解析】

将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；

根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。根据A、C点求得直线AC的解析式，根据B、E点求出直线BE的解析式，联立方程求得的解，即为F点的坐标；

由E、C、F、D的坐标可知DF和EC互相垂直平分，则可判定四边形CDEF为菱形．

（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣；

（2）∵y=x2+x﹣，

∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，

∵CE∥x轴，

∴C、E关于对称轴对称，

∵C（0，﹣），

∴E（﹣2，﹣），

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（1，0），

设直线AC、BE解析式分别为y=kx+b，y=k′x+b′，

则由题意可得，，

解得，，

∴直线AC、BE解析式分别为y=﹣x﹣，y=x﹣，

联立两直线解析式可得，解得，

∴F点坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）四边形CDEF是菱形．

证明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，

∴D（﹣1，﹣2），

∵F（﹣1，﹣1），

∴DF⊥x轴，且CE∥x轴，

∴DF⊥CE，

∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），

∴DF和CE互相平分，

∴四边形CDEF是菱形．