Question

【题目】如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点 M 为 DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点 N．

（1）如 图 1，当 A、B、E三点在同一直线上时，

①求证：△MEN≌△MDA；

②判断 AC与 CN数量关系为_______，并说明理由.

（2）将图 1 中△BCE绕 点 B 逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN 能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②AC=CN，见解析；（2）△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN为等腰直角三角形时，旋转角度为60°或240°．

【解析】

（1）①先判断出BC=AD，EC=AB，再判断出∠MEN=∠MDA，即可得出结论；②首先证明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后证明△ABC≌△CEN，得到AC=CN；

（2）首先证明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后证明△ABC≌△CEN，得到AC=CN，再判断出∠ACB=90°，进而判断出∠BAC=∠ACB，再由BA≠CB，得出点A，B，C在同一条直线上，即可得出结论．

解：（1）①∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB．

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA．

在△MEN与△MDA中，

∴△MEN≌△MDA（ASA），

②AC=CN，

由①知，△MEN≌△MDA，

∴EN=AD，

∴EN=BC．

在△ABC与△CEN中，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（2）与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，

∴EN=BC．

设旋转角为α，则∠ABC=120°+α，

∠DBE=360°-∠DBA-∠ABC-∠CBE=360°-30°-（120°+α）-60°=150°-α．

∵BD=BE，

，

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=，

，

∴∠ABC=∠CEN．

在△ABC与△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN，∠BAC=∠NCE，

∵△CAN能成为等腰直角三角形

∴∠ACN=90°，

∴∠ACB=∠NCE，

∴∠BAC=∠ACB，

∵AB≠CB，

∴点A，B，C在同一条直线上，

此时旋转角为60°．如下图所示：

即△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN为等腰直角三角形时，旋转角度为60°或240°．