Question

【题目】正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，

∵AD＝AB，AF＝AE，

∴△ABF≌△ADE，

∴BF＝DE，

∴BCBF＝CDDE，

∴CE＝CF，故①正确；

∵CE＝CF，∠C＝90°；

∴EF＝CE，∠CEF＝45°；

∴AF＝CE，

∴CF＝AF，故③错误；

∵∠AED＝180°∠CEF∠AEF；

∴∠AED＝75°；故②正确；

∵AE＝AF，CE＝CF；

∴AC垂直平分EF；故④正确．

故选：C．