Question

【题目】已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．

（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，

∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，

∵在△BCQ和△ODQ中

∴△BCQ≌△ODQ；

（2）

解：∵△BCQ≌△ODQ，

∴CQ=DQ，

在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，

则OQ2=（6﹣OQ）2+32，

解得：OQ= ，DQ= ，

即Q的坐标是（0， ），

∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，

∴B的坐标是（﹣3，6），

设直线BD的解析式是y=kx+ ，

把B的坐标代入得：k=﹣ ，

即直线BD的解析式是y=﹣ x+ ，

把y=0代入得：﹣ x+ =0，

解得：x=5，

即P的坐标是（5，0）；

（3）

解：

过D作DM⊥OP于M，如图1，

∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，

∴∠QOD=∠MDO，

∴△QDO∽△OMD，

∴ = = ，

∴ = = ，

即得：OM= ，DM= ，

OG=x，x≤3，

分为两种情况：①如图2，当0≤x≤ 时，

∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，

∴△ONG∽△ODM，

∴ = ，

NG= x，

∴S= ×OG×GN= x x，

S= x2；

②如图3，当 ＜x≤3时，

在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，

∵DM= ，OM= ，

∴PM=5﹣ = ，

∵OG=x，CG∥DM，

∴△PGN∽△PMD，

∴ = ，

∴NG= （5﹣x），

∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ （5﹣x） （5﹣x），

S=﹣ x2+ x﹣ ，

即S和x的函数关系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．

【解析】（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6﹣OQ）2+32 ， 求出OQ= ，DQ= ，得出Q的坐标是（0， ），求出直线BD的解析式，即可得出答案；（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质和平行四边形的判定，需要了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形才能得出正确答案．