Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点．边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点E是对角线AC上一点，连接OE、BE，BE的延长线交OA于点P，若△OCE的面积为12．

（1）求点E的坐标：
（2）求△OPE的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点E作EM⊥y轴于点M，

则 OCEM=12，

即 ×6×EM=12，

∴EM=4，

∵四边形OABC是正方形，

∴∠MCE=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∴MC=ME=4，

∴MO=6﹣4=2，

∴点E的坐标是（4，2）；

（2）解：设直线BE的解析式为y=kx+b，

把B（6，6）和点E（4，2）的坐标代入函数解析式得：

解得：k=2，b=﹣6，

∴直线BE的解析式为y=2x﹣6，

令2x﹣6=0得：x=3，

∴点P的坐标为（3，0），

∴OP=3，

∵四边形ABCO是正方形，

∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，

在△OCE和△BCE中

∴△OCE≌△BCE（SAS），

∴OE=BE，

在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB= =3 ，

∴△OPE的周长=OE+PE+OP=3+PB=3+3 ．

【解析】（1）题中已知△OCE的面积为12．因此过点E作EM⊥y轴于点M，利用三角形面积公式可求出ME的长，再证明△CME是等腰直角三角形，就可求出OM的长，即可求出点E的坐标。
（2）根据已知求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线BE的解析式，再求出点P的坐标，即可求出OP的长，再证明△OCE≌△BCE，得到OE=BE，因此△OPE的周长就等于OP+BP，利用勾股定理求出PB的长，即可求得此三角形的周长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．