Question

【题目】如图，等边的边长为，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿的延长线向右运动，已知点，都以的速度同时开始运动，运动过程中与相交于点，点运动到点后两点同时停止运动．

（1）当是直角三角形时，求，两点运动的时间；

（2）求证：在运动过程中，点始终是线段的中点．

Answer 1

【答案】（1）秒；（2）证明见解析

【解析】

（1）经过分析当△ADE是直角三角形时，只有∠ADE=90°的情况，此时∠AED=30°．用运动时间t表示出AD和AE，根据30度直角三角形的性质构造关于t的方程即可求解；

（2）过D点作DK∥AB交BC于点K，证明△DKP≌△EBP即可说明点P始终是线段DE的中点．

解：（1）中，，

所以若是直角三角形，只能

中，得，∠AED=30°

∴

设点运动时间为，则点运动时间也为．

∴，

∴，解得

所以当是直角三角形时，，两点运动时间为秒．

（2）过点作交于点

∵等边三角形中．，

且

∴

∴为等边三角形

∴，

设，运动时间为秒，则

在与中

∴

∴

∴始终为的中点