Question

【题目】在中，，，点是的中点，，垂足为点，连接．

（1）如图1，与的数量关系是________；

（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请猜想、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点是线段延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出、、三者之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）作图见解析，

【解析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC-BP，DE=BC可得到；

（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF-BP=BC，所以．

解：（1）∵，

∴

∵点是的中点，

∴

∴为等边三角形，

∵，

∴

（2）∵线段绕点逆时针旋转，得到线段

∴，，

∴

即

在与中

∴

∴

由（1）知：

（3）

∴

即

在和中

∴

∴

而CP=BC+BP，

∴BF-BP=BC，