Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H

（1）求线段DE的长；

（2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值；

（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)8．(2)K（﹣2，﹣3），最小值为8．(3)满足条件的点N坐标为（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．

【解析】

试题分析：（1）先求出点A坐标，求出直线AD的解析式，利用方程组求出点E坐标，利用两点间距离公式即可解决问题．

（2）构建二次函数，求出d最大时点P坐标，作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．只要证明PM就是PK+EK的最小值即可解决问题．

（3）分四种情形①如图2中，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，列出方程求解即可．②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）．③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）．④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解决问题．

试题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2﹣x+3，

令y=0，得﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或，∴A（，0），B（﹣3，0），

∵D（0，﹣1），

设直线AD的解析式为y=kx+b，则有解得，

∴直线AD的解析式为y=x﹣1．

由解得或，∴点E坐标为（﹣4，﹣5），

∴DE==8．

（2）如图1中，设P（m，﹣ m2﹣x+3）则Q（m， m﹣1）．

∵tan∠OAD==，∴∠OAD=30°，∵PG⊥AE，∴∠AGH=90°，∴∠AHG=∠PHF=60°，

∴PH=，

∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×（﹣m2﹣m+3）=﹣（m+2）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣2时，d的值最大，P（﹣2，3），

作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．

∵∠AEM=∠OAD=30°，

∴KN=EK，QM=EQ，

∴PK+EK=PK+KN≤PM，

∴当K与Q重合时，PK+EK的值最小，

此时K（﹣2，﹣3），最小值为8．

（3）①如图2中，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．

∵PF=3，AF=3，∴tan∠AFP=，∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，∵PF=FQ，AF⊥PQ，

∴AP=AQ，∴△PAQ是等边三角形，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，

∴∠NEF=30°，设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，∵PF=3，∴2x+x=3，∴x=6﹣3，

∴OF=2﹣6+3=5﹣6，∴N（6﹣5，0）．

②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）．

③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）．

④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．

在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，∴PE=NE=2PF=6，EF=PF=3，

∴ON=6+5，∴N（﹣6﹣5，0）．

综上所述，满足条件的点N坐标为（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．