Question

【题目】如图，折叠边长为a的正方形ABCD，使点C落在边AB上的点M处（不与点A，B重合），点D落在点 N处，折痕EF分别与边BC、AD交于点E、F，MN与边AD交于点G．

证明：（1）△AGM∽△BME；

（2）若M为AB中点，则；

（3）△AGM的周长为2a．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据正方形的性质和折叠的性质得出∠A=∠B，∠AGM=∠BME，再利用相似三角形的判定证明即可；

（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可；

（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质证明即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴∠AMG＋∠AGM＝90°．

∵EF为折痕，∴∠GME＝∠C＝90°，

∴∠AMG＋∠BME＝90°，

∴∠AGM＝∠BME．

在△AGM与△BME中，

∵∠A＝∠B，∠AGM＝∠BME，

∴△AGM∽△BME．

（2）∵M为AB中点，∴BM＝AM＝．

设BE＝x，则ME＝CE＝a－x．

在Rt△BME中，∠B＝90°，

∴BM2＋BE2＝ME2，即()2＋x2＝(a－x)2，

∴x＝a，∴BE＝a，ME＝a．

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴＝＝＝．

∴AG＝BM＝a，GM＝ME＝a，

∴．

（3）设BM＝x，则AM＝a－x，ME＝CE＝a－BE．

在Rt△BME中，∠B＝90°，

∴BM2＋BE2＝ME2，即x2＋BE2＝(a－BE)2，

解得：BE＝－．

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴＝＝．

∵C△BME＝BM＋BE＋ME＝BM＋BE＋CE＝BM＋BC＝a＋x，

∴C△AGM＝C△BME·＝(a＋x)·＝2a．