Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-x2+2bx+c与直线l：y=9x+14交于点A，其中点A的横坐标为-2．

（1）请用含有b的代数式表示c: ；

（2）若点B在直线l上，且B的横坐标为-1，点C的坐标为（b，5）．

①若抛物线M还过点B，直接写出该抛物线的解析式；

②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，结合函数图象，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或.

【解析】

（1）将A点横坐标，代入直线l：y=9x+14得到A点的坐标，再代入到抛物线中，即可求解；

（2）①将B点横坐标，代入直线l：y=9x+14得到B点的坐标，再代入到抛物线中，可求出抛物线的解析式；

②抛物线的顶点为N（），开口向下，C（b，5），B（-1，5），要使得抛物线M与线段BC有交点，N不在C的下方，即0，则分，或两种情况讨论，结合图象求解.

解：（1）∵抛物线M：y=-x2+2bx+c与直线l：y=9x+14交于点A，其中点A的横坐标为-2，

∴A（-2，-4），

代入y=-x2+2bx+c得，

∴．

故答案为：．

（2）∵点B在直线l：y=9x+14上，且B的横坐标为-1，

∴B（-1，5），

①若抛物线M：y=-x2+2bx+4b还过点B（-1，5），

∴,

∴b=3,

∴该抛物线的解析式：；

②∵的顶点为N（），开口向下，

其中C（b，5），B（-1，5），

要使得抛物线M与线段BC有交点，N不在C的下方，即0，

∴，或，

当时，

结合函数图象，若抛物线M与线段BC恰有一个交点，

当时，，

∴；

当时，

结合函数图象，若抛物线M与线段BC恰有一个交点，

当时，，

∴；

综上所述：抛物线M与线段BC恰有一个交点时，或.