Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．

（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；

（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．

【解析】

（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；

（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得OM＝BM＝r，然后根据勾股定理得到即（r）2+r2＝（）2，再解方程即可得到⊙O的半径．

解：（1）连接OE，OF，如图，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴∠DOF＝∠DOE．

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，

∴∠DOF＝2α，

∵FD为⊙O的切线，

∴OF⊥FD．

∴∠OFD＝90°．

∴∠D+∠DOF＝90°，

∴∠D＝90°﹣2α；

（2）连接OM，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴O为AB中点，∠AEB＝90°．

∵M为BE的中点，

∴OM∥AE，

∵∠A＝30°，

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵∠DOF＝2∠A＝60°，

∴∠MOF＝90°，

设⊙O的半径为r，

在Rt△OMB中，BM＝OB＝r，

OM＝BM＝r，

在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．

即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2，

即⊙O的半径为2．