Question

【题目】在 中， 于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点．

（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，当点在线段上时，其它条件不变，请猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点在线段 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE=CG，理由见解析；（3）CG=AE

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC，根据同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根据ASA证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
（2）同理即可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
（3）同（2）可得∠A=∠GCB=45°，证得∠CGB=∠AEC，可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论．

（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（2）AE=CG；理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（3）CG=AE．
证明：同（1）（2）可得∠A=∠GCB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠GDB=∠BFE=90°，
∵∠DBG=∠FBE，
∴∠CGB=∠AEC，
，
∴△ACE≌△CBG（AAS），
∴CG=AE．