Question

【题目】用两种方法证明“四边形的外角和等于360°”．

如图，∠DAE、∠ABF、∠BCG、∠CDH是四边形ABCD的四个外角．

求证：∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝360°．

Answer 1

【答案】详见解析．

【解析】

连接AC，BD，由三角形外角和可知∠EAD＝∠ABD+∠ADB，∠ABF＝∠CAB+∠ACB，∠BCG＝∠CDB+∠CBD，∠CDH＝∠DAC+∠DCA，代入所求式子即可求解．

解：解法一：连接AC，BD，

∵∠EAD＝∠ABD+∠ADB，

∠ABF＝∠CAB+∠ACB，

∠BCG＝∠CDB+∠CBD，

∠CDH＝∠DAC+∠DCA，

∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝∠ACB+∠ABC+∠CAB+∠ACB+∠CDB+∠CBD+∠DAC+∠DCA＝（∠ACD+∠DCA+∠ADC）+（∠ABC+∠DAB+∠ACB）＝180°+180°＝360°．

解法二：

∵∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝180°∠DAB＋180°∠ABC＋180°∠BCD＋180°∠ADC，
又∵∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝360°．

【解答】

本题考查三角形的外角和和内角和定理；通过辅助线将四边形分割成三角形，在三角形中求解是关键．