Question

【题目】如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．

（1）如图1，写出点D到△ABC三个顶点A，B，C的距离的关系（直接写出结论）；

（2）如图1，点E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF是等腰直角三角形；

（3）若点E，F分别是AB，CA的延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，请判断△DEF的形状？（直接写结论）．

Answer 1

【答案】（1）点D到三个顶点的距离相等；（2）见解析；（3）△DEF是等腰直角三角形

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质及判定即可知CD＝BD＝AD；

（2）根据△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三线合一”的性质，证明△ADF≌△BDE（SAS），得到DF=DE，∠ADF=∠BDE，等量代换得到∠EDF=90°即可证明；

（3）作出图形，根据△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三线合一”的性质，证明△ADF≌△BDE（SAS），得到DF=DE，∠ADF=∠BDE，等量代换得到∠EDF=90°即可解答．

解：（1）如图，连接AD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，D为BC的中点，

∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴AD=BD，AD=CD，
∴CD＝BD＝AD，
即点D到三个顶点的距离相等；

（2）如（1）中，连接AD，

∵AB=AC，∠A=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，∠B=∠C=45°，

∴∠CAD=∠B=45°，

又∵AD=BD，

∴在△ADF与△BDE中，

AD=BD，∠DAF=∠DBE，AF=BE，

∴△ADF≌△BDE（SAS），

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE，

∵∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（3）△DEF是等腰直角三角形，

理由：如图所示，连接AD，

∵AB=AC，∠A=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，∠ABC=∠C=45°，

∴180°-∠CAD=180°-∠ABC，即∠DAF=∠DBE，

又∵AD=BD，

∴在△ADF与△BDE中，

AD=BD，∠DAF=∠DBE，AF=BE，

∴△ADF≌△BDE（SAS），

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE，

∵∠ADF+∠BDF=90°，

∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；