Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）的顶点为A.

（1）求顶点A的坐标；

（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）交于B、C两点.

①当a=1时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）顶点A的坐标为（-2，-4）；（2）①线段BC的长为6；②0<a≤

【解析】试题分析：（1）利用配方法或顶点的公式进行求解即可；

（2）①将a=1，y=5代入抛物线的解析式，解方程即可得；

②设B、C两点的坐标分别为（x1,5）、（x2，5）,则BC=|x1-x2|≥8，将y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得ax2+4ax+4a-9=0，由根与系数关系则有：x1+x2=-4，x1x2=，利用|x1-x2|=通过计算即可得.

试题解析：（1）解法一：∵y=ax2+4ax+4a-4=a（x+2）2-4，

∴顶点A的坐标为（-2，-4）；

解法二：∵,=-4，

∴顶点A的坐标为（-2，-4）；

（2）①当a=1时，抛物线为y=x2+4x，

令y=5，得x2+4x=5，

解得，x1=-5，x2=1，

∴线段BC的长为6；

②设B、C两点的坐标分别为（x1,5）、（x2，5）,则BC=|x1-x2|≥8，

将y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得：ax2+4ax+4a-4=5，即ax2+4ax+4a-9=0，

由根与系数关系则有：x1+x2=-4，x1x2=，

∵|x1-x2|=，

∴ 8，

∴0<a≤.