Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点. 定义图形W的测度面积：若|x1-x2|的最大值为m，|y1-y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积. 例如，若图形W是半径为l的⊙O. 当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2. 则图形W的测度而积S=mn=4.

（1）若图形W是抛物线y=-x2+2x+3和直线y=2x-1围成的封闭图形，则它的测度面积S=______

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD.

①当A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S=_________；

②此图形测度面积S的最大值为_________；

（3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）①1； ②2；（3）测度面积S的取值范围是18≤S≤.

【解析】试题分析：（1）先求出抛物线与直线的交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，然后根据定义进行计算即可得；

（2）①根据给出的定义可以求出来；

②根据定义可以求出测度面积的最大值为2；

（3）因为平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，注意分三种情况讨论.

试题解析：（1）解方程组得： ， ，

抛物线y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

根据定义可知图形W中|x1-x2|的最大值为4，|y1-y2|的最大值为9，则S=4×9=36，

故答案为：36；

（2）①当A、B都在x轴上时，如图所示，横坐标差的绝对值的最大值为1，纵坐标差的绝对值的最大值为1，根据定义可知图形的测度面积为1，

故答案为：1；

②如图所示摆放时，图形的测度面积最大，

此时横坐标差的绝对值的最大值为，纵坐标差的绝对值的最大值为，根据定义可知图形的测度面积为2，

故答案为2；

（3）不妨设矩形ABCD的边AB=6，BC=3. 由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上. 当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图1和图2，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=18.

当顶点A，C都不在x轴上时，如图3.

过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形.

当点P，Q分别与点A，C重合时，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；

当点P，Q分别与点B，D重合时，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.

∴图形W的测度面积S=EF·GF.

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°.

∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°.

∴∠BAE=∠CBF.

又∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△ABE∽△BCF.

∴.

设AE=2a，EB=2b（a>0，b>0），则BF=a，FC=b，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

∴4a2+4b2=36. 即a2+b2=9.

∵b>0，∴b=

易证△ABE≌△CDG. ∴CG=AE=2a.

∴EF=EB+BF=2b+a，GF=FC+CG=b+2a.

∴S=EF·GF=（2b+a）（b+2a）=2a2+2b2+5ab=18+5a

=18+5=18+5=18+5

∴当a2=，即a=时，测度面积S取得最大值18+5×=.

∵a>0，b>0，∴ . ∴S>18.

∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为l8<S≤.

综上所述，测度面积S的取值范围是18≤S≤.