Question

【题目】如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在 BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，

（1）试求∠DAE的度数.

（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？

（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）不改变；（3）∠DAE=∠BAC

【解析】试题分析：（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度；
（2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°-2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45度；
（3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，即∠DAE=∠BAC．

试题解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5°，

∵CE=CA，

∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°，

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°；

（2）不改变.

设∠CAE=x，

∵CA=CE，

∴∠E=∠CAE=x，

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°，

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E

=180°-(90°-2x）-x=90°+x，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD

=（90°+x）-（x+45°）

=45°；

（3）∠DAE=∠BAC，

理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，

则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，

∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，

∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，

∴∠DAE=∠BAC.