Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣mx的图象与直线y=﹣1相切． （Ⅰ）求m的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=ax3 ， 设h（x）=f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】解：（I）设f（x）的图象与直线y=﹣1相切于点（x0 ， ﹣1），（x0＞0）， f′（x）=lnx+1﹣m，（x＞0）
则 即
解得：x0=1，m=1，
由f′（x）=lnx＞0得x＞1；f′（x）=lnx＜0得0＜x＜1；
所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）；增区间为（1，+∞），
（II）h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ax3=x（lnx﹣1﹣ax2）（x＞0）．
由h（x）=0得 ；
∴ ．
记函数 ，

由r′（x）＞0得 ；r′（x）＜0得 ，
∴r（x）在 上单调递增；在 上单调递减，
∴ ，
又 时，r（x）＞0；x∈（0，e）时，r（x）＜0；且x趋向于0时r（x）趋向于负无穷大．
∴当a＞ 时，y=a与y=r（x）的图象无交点，函数h（x）无零点；
当a≤0或a= 时，y=a与y=r（x）的图象恰有一个交点，函数h（x）恰有一个零点；
当0＜a＜ 时，y=a与y=r（x）的图象恰有两个交点，函数h（x）恰有两个个零点
【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的几何意义，从而可求m的值和函数的单调区间；（Ⅱ）构造函数，利用导数，求出函数的最值，再分类讨论即可得到函数零点的个数
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．