Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=4 ．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，BD=8，AB=4 ， ∴AD2+BD2=AB2 ， 故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，
又BD平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAD．
（II）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2 ），B（0，8，0），
， =（﹣4，8，0）．
设平面PAB的法向量 =（x，y，z），
由 ，
令 则 ，则
平面PAD的一个法向量为 ，
则
则二面角B﹣PA﹣D的余弦值为
【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PBD⊥平面PAD．（II）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣D的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．