Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与X轴的交点为A,与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer 1

【答案】(1)A(18,0),B(0,10),C(8,10),顶点坐标为；（2）t=；（3）△PQF的面积总为90；（4）.

【解析】试题分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；

（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；

（3）当0<t<时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S△PQF是否为定值，已知QC∥PF，根据平行线分线段成比例定理可得出： ，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用OAOB求出；

（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF2，PQ2，FQ2，进而可分三种情况进行讨论：①△PFQ以PF为斜边．则PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值；②△PFQ以PQ为斜边，方法同①；③△PFQ以FQ为斜边，方法同①．综合三种情况即可得出符合条件的t的值．

试题解析：（1），

令y=0，得x28x180=0，

即(x18)(x+10)=0，

∴x=18或x=10.

∴A(18，0)

在中，令x=0得y=10，

即B(0，10).

由于BC∥OA，

故点C的纵坐标为10，

由10=得，x=8或x=0，

即C(8，10)且易求出顶点坐标为(4，)，

于是，A(18，0)，B(0，10)，C(8，10)，顶点坐标为(4，)；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA.

故只要QC=PA即可，

而PA=184t，CQ=t，

故184t=t得t=；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0<t<4.5，

说明P在线段OA上，不与点OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，

故

∵△AEF∽△CEQ，

∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1，

∴AF=4t=OP，

∴PF=PA+AF=PA+OP=18

又∵点Q到直线PF的距离d=10，

∴S△PQF=PFd=×18×10=90，

于是△PQF的面积总为90；

（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18+4t，0)，Q(8t，10)t∈(0，4.5).

∴PQ2=(4t8+t)2+102=(5t8)2+100

FQ2=(18+4t8+t)2+102=(5t+10)2+100.

①若FP=FQ，则182=(5t+10)2+100.

即25(t+2)2=224，(t+2)2=.

∵0t4.5，

∴2t+26.5，

∴t+2==.

∴t=2，

②若QP=QF，则(5t8)2+100=(5t+10)2+100.

即(5t8)2=(5t+10)2，无0t4.5的t满足。

③若PQ=PF，则(5t8)2+100=182.

即(5t8)2=224，由于≈15，又05t22.5，

∴85t814.5，而14.52=()2=<224.

故无0t4.5的t满足此方程。

综上所述，当t=2时，△PQF为等腰三角形.