Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，点C为直角顶点，连接OC.

(1)直接写出= ;

(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；

(3)若点M为AB的中点，点N为OC的中点，求MN的值；

(4)如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线于点P，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1） 4；（2）OB+OA=2CE；见解析；（3）MN=；（4）P（，）．

【解析】

(1)令x=0，求出y的值，令y=0，求出x的值，即可得出OA，OB的长，根据三角形面积公式即可求出结果；

（2）过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，易证△CEB≌△CFA与四边形CEOF是正方形，从而得AF=BE，CE=BE=OF，由OB=OE-BE，AO=OF+AF可得结论；

（3）求出C点坐标，利用中点坐标公式求出点M，N的坐标，进而用两点间的距离公式求解即可得出结论；

（4）先判断出点B是AQ的中点，进而求出Q的坐标，即可求出DP的解析式，联立成方程组求解即可得出结论．

（1）∵直线y=-x+2交坐标轴于A，B两点，

令x=0，则y=2，令y=0，则x=4,

∴BO=2，AO=4，

∴=；

（2）作CF⊥x轴于F，作CE⊥y轴于E，如图，

∴∠BFC=∠AEC=90°

∵∠EOF=90°，

∴四边形OECF是矩形，

∴CF=OE，CE=OF，∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°

∴∠BCF=∠ACE，

∵BC=AC，

∴△CFB≌△CEA，

∴CF=CE，AF=BE，

∴四边形OECF是正方形，

∴OE=OF=CE=CF，

∴OB=OE-BE，OA=OF+AF，

∴OB+OA=OE+OF=2CE；

（3）由（2）得CE=3，

∴OE=3，

∴OF=3，

∴C（3，3）；

∵M是线段AB的中点，而A（4，0），B（0，2），

∴M（2，1），

同理：N（，），

∴MN=；

（3）如图②延长AB，DP相交于Q，

由旋转知，BD=AB，

∴∠BAD=∠BDA，

∵AD⊥DP，

∴∠ADP=90°，

∴∠BDA+∠BDQ=90°，∠BAD+∠AQD=90°，

∴∠AQD=∠BDQ，∴BD=BQ，

∴BQ=AB，

∴点B是AQ的中点，

∵A（4，0），B（0，2），

∴Q（-4，4），

∴直线DP的解析式为y=-x①，

∵直线DO交直线y=x+5②于P点，

联立①②解得，x=-，y=，

∴P（-，）．