Question

【题目】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若反比例函数y= 图象经过P点、Q点，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，

∴P（t，8），Q（10，at），

∵反比例函数y= 图象经过P点、Q点，

∴8t=10at，解得a=

（2）

解：∵OQ垂直平分AP，

∴OP=OA，PQ=QA，

∴ =10，解得t=6，

∴Q（10，6a），P（6，8），

∵PQ=QA，

∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2=（6a）2，解得a=

（3）

解：如图，

∵Q为AB的中点，

∴Q（10，4），P（t，8）．

当∠OPQ=90°时，OP2+PQ2=OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42=102+42，整理得，t2﹣10t+32=0，

∵△=（﹣10）2﹣4×32=100﹣128=﹣28＜0，

∴此方程无解，即此种情况不存在；

当∠POQ=90°时，OQP2+PQ2=OP2，即102+42+（10﹣t）2+42=t2+82，整理得，﹣20t=﹣168，解得t= ，

∵AQ=4，

∴at=4，即 a=4，解得a= ．

【解析】（1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；（2）先根据OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ=90°与∠POQ=90°两种情况进行分类讨论．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．