Question

【题目】已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC边为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；

（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；

（3）若AD=4，BD=,求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）作AC的垂直平分线，垂足为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；

（2）如图2，连结OD，CD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，再根据斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=EC=BE，则利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，加上∠3=∠4，则∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是可根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；

（3）证明Rt△BDC∽Rt△BCA，利用相似比计算出BC=，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得到DE的长．

试题解析：（1）解：如图1，

（2）证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC边为直径，

∴∠ADC=90°，

而E为BC边中点，

∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，

∴DE=EC=BE，

∴∠1=∠2，

∵OC=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（3）解：∵∠DBC=∠CBA，

∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+）=：BC，

∴BC=，

∴DE=BC=

．