Question

【题目】已知∠ACD=90°,MN是过A点的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,连接BC．

(1)如图1,将△BCD绕点C逆时针方向旋转90°得到△ECA．

①求证：点E在直线MN上；

②猜想线段AB、BD、CB满足怎样的数量关系,并证明你的猜想．

(2)当MN绕点A旋转到如图2的位置时,猜想线段AB、BD、CB又满足怎样的数列关系,并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①见解析;②AB+BD=BC,理由见解析;(2)ABBD=BC，理由见解析;

【解析】

（1）①由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋转的性质得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出结论；

②证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出BE=BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出结论；

（2）过点C作CE⊥CB与MN交于点E，则∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，证出∠CAE=∠CDB，由ASA证明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出EB=BC，即可得出结论．

(1)①证明：∵DB⊥MN,

∴∠ABD=90，在四边形ACDB中,

∵∠ACD=90

∴∠ACD+∠ABD=180

∴∠CAB+∠CDB=180

由旋转的性质得：△ECA≌△BCD

∴∠EAC=∠BDC,

∴∠CAB+∠EAC=180

∴点E在直线MN上

②解：AB+BD=BC,理由如下：

∵∠ACD=90

∴∠ACB+∠BCD=90

由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC

∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90

∴△ECB为等腰直角三角形

∴BE=BC

∵BE=AE+AB

由①知AE=BD

∴AB+BD=BC.

(2)解：ABBD=BC，理由如下：

过点C作CE⊥CB与MN交于点E,如图2所示：

则∠ECB=90

∵∠ACD=90

∴∠ACE=∠DCB

∵DB⊥AB

∴∠CAE=∠CDB

∴△ACE≌△DCB(ASA)

∴AE=DB,EC=BC

∴EB=ABAE=ABDB,△ECB为等腰直角三角形,

∴EB=BC

∴ABBD=BC.