Question

【题目】如图，在中，，为边上一点，为边的中点，过点作，交的延长线于点，连结．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若点为边的中点，当线段BC与线段AC满足什么数量关系时，四边形为正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；

（2）首先证明四边形ACDF是矩形，再利用添加的条件：证明CA=CD即可解决问题；

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

为的中点，

在△AEF与△BED中，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四边形ADBF是平行四边形；

（2） 理由如下：

为的中点，

CD=DB，

AE=BE，

∴DE∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∵AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDB=90°，

∴∠C=∠CDF=∠AFD=90°，

∴四边形ACDF是矩形，

∵BC=2AC，CD=BD，

∴CA=CD，

∴四边形ACDF是正方形．