Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．

（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在Rt△ABC中，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠DBE=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠ABE+∠A=90°，

∴∠A=∠DBE，

∵DE是BD的垂线，

∴∠D=90°，

在△ABC和△BDE中，

∵ ，

∴△ABC≌△BDE（ASA）

（2）解：如图①，点O就是所求的旋转中心．

作法二：如图②，点O就是所求的旋转中心．

【解析】（1）要证△ABC≌△BDE，由已知可知有一组直角相等和一组对应边相等，还需证明一组对应角相等。根据同角的余角相等，即可得证。
（2）方法一、作AB、BD的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是旋转中心；方法二、以AB、BD为邻边作正方形，正方形对角线的交点就是所求作的旋转中心。