【题目】如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点， 为抛物线的顶点， 为坐标原点，过点作交抛物线于点. 若的长分别是方程的两根，且

（1）求抛物线对应的二次函数解析式和点的坐标。

（2）若点M为x轴正半轴上一个动点，N为线段AC上的一个动点，连接MN、CM，是否存在这样的点M，使△AMN为直角三角形和△CMN为等腰三角形同时成立，如果存在，请求出所有符合条件的点M的坐标，如果不存在，请说明理由。

（3如图2，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，请直接写出的最大值．

图1 图2

参考答案：

【答案】（1）；（2）M1（11-6，0），M2（5,0）；（3） 4.

【解析】试题分析：（1）通过解方程即可求得OA、OB的长，从而得到点A、B的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用点A、B的坐标求得点D的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式；由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，则∠CAB=45°，作CH⊥x轴，设出点C的纵坐标，那么其横坐标应为m-1，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得点C的坐标；

（2）分两种情况：①∠AMN=90°②∠ANM=90°讨论即可；

（3）易得AC、AD的长，由于△ACD是直角三角形，那么ACAD=APd1+APd2，由此可得d1+d2=，过A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤，而AC、AD、AM的长都已求得，由此可确定d1+d2的最大值．

试题解析：（1）解方程x2-4x+3=0得：x=1或x=3，而OA＜OB，

则点A地坐标为（—1,0），

点B地坐标为（3，0），

∵A、B关于抛物线对称轴对称，

∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，

∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2），

令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x-1）2-2，

∵抛物线过点A，

∴0=4a-2，得a=，

故抛物线对应的二次函数解析式为y= (x-1)2-2（或写成y=x2-x-,或y= (x+1)(x—3)）；

∵CA⊥AD，∠DAC=90°，又∵∠DAB=45°，

∴∠CAB=45°，

作CH⊥x轴，

则CH=AH，

设CH=AH=m，则OH=m-1，

∴C的坐标为（m-1，m），

代入抛物线解析式，解得：m1=6，m2=0（舍去）

故点C的坐标为（5，6）；

（2）由（1）得AC=6，

①若∠AMN=90°,

则∠MNC=135°，

故CN=MN，设MN=n，

则MN=CN=n，AN=n，

则n+n=6，n=12-6，

∴M1（11-6，0）.

②若∠ANM=90°，

则∠MNC=90°，

又MN=CN，则∠ACM=45°，∠AMC=90°，

∴AM=CM=6,

∴OM=5，

∴M2（5,0）；

（3）∵AC=6，而AD=2，

∴DC==4；

过A作AM⊥CD，

又∵AC×AD=DC×AM，

∴AM=，

又∵S△ADC=S△APD+S△APC

∴×AC×AD=AP×d1+AP×d2，

d1+d2==24×=4；

即此时d1+d2的最大值为4.

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