Question

【题目】矩形的对角线交于点，．

（1）如图1，，，点在边上，点在边上，求证：；

（2）如图2，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，求的值；

（3）如图3，，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用正方形的性质证明全等即可得到答案，

（2）在上取使得，证明，证明为顶角为的等腰三角形，利用等腰三角形的性质得到的数量关系，可得答案，

（3）如图，连接OD，过O作于，结合已知条件，则得到在以为圆心，为半径的圆上，利用矩形的性质得到：为的中位线，利用勾股定理可得答案．

（1）证明：∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形，

∴，，

又，

∴

∴在和中

∴

∴

（2）在上取使得，

矩形

∵，

∴，

∴在与中

∴，

∴，∴

∴

∴，即为顶角为的等腰三角形，

∴设，过D作于，

∴

．

∴

（3）如图，连接OD，过O作于，

在以为圆心，为半径的圆上，

四边形为矩形，

为矩形对角线的交点， ，

为的中位线，