Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.

Answer 1

【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DFBE；证明见解析；（3）.

【解析】

（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；

（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；

（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．

解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，

∵∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，

∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AFG和△AFE中，，

∴△AFG≌△AFE，

∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；

（2）EF＝DFBE；

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，

∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠E'AF＝∠BAD（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠E'AF，

在△AEF和△AE'F中，，

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DFDE'，

∴EF＝DFBE；

（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，

同（1）可证△AED≌AED'，

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，

故答案为：．