Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC= ，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，

连接OB，∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵点B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切线，

（2）

解：如图2，

设圆的半径为R，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACCD=90°，

∵BC=BD，

∴OB⊥CD，

∴OB∥AC，

∵OA=OD，

∴OF= AC= ，

∵四边形ACBD是圆内接四边形，

∴∠BDE=∠ACB，

∵∠DBE=∠ACB，

∴△DBE∽△CAB，

∴ ，

∴ ，

∴DE= ，

∵∠OBE=∠OFD=90°，

∴DF∥BE，

∴ ，

∴ ，

∵R＞0，

∴R=3，

∵BE是⊙O的切线，

∴BE= = =

【解析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后用切割线定理即可．此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和相似，圆内接四边形的性质，解本题的关键是作出辅助线．