Question

【题目】已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：（1）①如图1，

∵AB⊥AD，AE⊥AC，

∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABC和△ADE中，

∵

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如图1 ，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠AEC=∠3，

在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，

∴∠BCE=90°，

∵AH⊥CD，AE=AC，

∴CH=HE，

∵∠AHE=∠BCE=90°，

∴BC∥FH，

∴ =1，

∴BF=EF；

（2）

解：结论仍然成立，理由是：

如图2所示，

过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，

∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，

∴∠2=∠CAD，

∵MN∥AH，

∴∠3=∠HAE，

∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，

∴∠ACH=∠HAE，

∴∠3=∠ACH，

在△MAE和△DAC中，

∵

∴△MAE≌△DAC（ASA），

∴AM=AD，

∵AB=AD，

∴AB=AM，

∵AF∥ME，

∴ =1，

∴BF=EF．

【解析】（1）①利用SAS证全等；
②易证得：BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论．
（2）作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根据等量代换得AB=AM，根据②同理得出结论．本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例的性质，本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：①证明相等线段所在的三角形全等；②利用相等线段的比值为1证相等．