Question

【题目】△ABC是⊙O的内接三角形，BC= ．如图，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA= BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．

Answer 1

【答案】解：图形如图所示，直线l与⊙O相切．
理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵l⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵OF⊥l，CE⊥l，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF= （AD+CE），
设AD=a，则AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA=2a，
∴直线l是⊙O切线
【解析】作OF⊥l于F，CE⊥l于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点即可以解答此题．