Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE＝OE＝2．

(1)求证：∠A＝2∠DCB；

(2)求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2-π．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；

（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．

试题解析：（1）连接OD，

∵AB是⊙O切线，

∴∠ODB=90°，

∴BE=OE=OD=2，

∴∠B=30°，∠DOB=60°，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴∠A=2∠DCB；

（2）∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，

∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOE=×2×2-=2-π．