Question

【题目】已知点D是等边△ABC的边BC上一点，以AD为边向右作等边△ADF，DF与AC交于点N．

（1）如图①，当AD⊥BC时，请说明DF⊥AC的理由；

（2）如图②，当点D在BC上移动时，以AD为边再向左作等边△ADE，DE与AB交于点M，试问线段AM和AN有什么数量关系？请说明你的理由；

（3）在（2）的基础上，若等边△ABC的边长为2，直接写出DM+DN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AM=AN，理由详见解析；（3）

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CAD=30°，再求出∠FAN=30°，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠ADE=∠ADF，等边三角形的三条边都相等可得AD=AF，再求出∠DAM=∠FAN，然后利用“角边角”证明△ADM和△AFN全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AM=AN；
（3）根据垂线段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC时，DM、DN最短，再利用△ABC的面积求出此时DM+DN等于等边△ABC的高，然后求解即可．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴∠CAD=×60°=30°，

又∵△ADF是等边三角形，

∴∠DAF=60°，

∴∠DAN=∠FAN=30°，

∴AN⊥DF，

即DF⊥AC；

（2）AM=AN，理由如下：

∵△ADE，△ADF是等边三角形，

∴∠ADE=∠F=60°，AD=AF，

∵∠DAM+∠CAD=60°，

∠FAN+∠CAD=60°，

∴∠DAM=∠FAN，

在△ADM和△AFN中，

∴△ADM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN；

（3）根据垂线段最短，DM⊥AB，DN⊥AC时，DM，DN最短，设等边△ABC的高线为h，

则，

，

∴S△ABC=ACh=AC（DM+DN），

∴DM+DN=h，

∵等边△ABC的边长为2，

．

∴DM+DN的最小值为