Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，经过B，C两点的⊙O交边AB于另一点E，延长CO交边AB于点D，EF∥CD交⊙O于另一点F， 连接CF。

（1）若⊙O的半径为4，求弧CE的长；

（2）求证：四边形EFCO是菱形;

（3）若BC=6，tan∠CDB=3，求BD的长。

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）3+

【解析】分析：（1）根据圆周角定理可得∠COE=120°,再根据弧长计算公式即可得解；

（2）如图，连接OF，易证△OEF和△OCF是等边三角形，得EF=OE=CF=OC，故得四边形EFCO是菱形;

（3）作CH⊥AB于点H，可得∠CHD=∠CHE=90°，在Rt△CHB中，∠ABC=60°，BC=6，故BH=3，CH=.在Rt△CHD中，tan∠CDB=3，故DH=CH=,故BD=3+.

（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°

∴∠COE=120°

∴弧CE的长

（2）如图，连接OF，

∵∠COE=120°，

∴∠DOE=60°，

∵EF∥CD，

∴∠OEF=60°,

∵OE=OF，

∴△OEF是等边三角形，

∴EF= OE =r，∠FOE=60°，

∴∠COE=∠COE-60°=60°,

∵OC=OF，

∴△OCF是等边三角形，

∴CF=OC=r，

∴EF=OE=CF=OC，

∴四边形EFCO是菱形.

（3）作CH⊥AB于点H，可得∠CHD=∠CHE=90°，

在Rt△CHB中，

∵∠ABC=60°，BC=6，

∴BH=3，CH=.

在Rt△CHD中，tan∠CDB=3，

∴DH=CH=,

∴BD=3+.