Question

【题目】如图AB∥CD，点P是平面内直线AB、CD外一点连接PA、PC。

(1)写出所给的四个图形中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的数量关系；

(2)证明图(1)和图(3)的结论。

Answer 1

【答案】（1）图1，∠APC+∠A+∠C=360°；图2，∠APC=∠A+∠C；图3，∠C=∠A+∠APC；图4，∠A=∠C+∠APC；（2）证明图1见解析；证明图3见解析.

【解析】

1）依据图形可得∠APC、∠PAB、∠PCD之间的数量关系；
（2）过P作PE∥AB，即可得到PE∥CD，再根据平行线的性质以及角的和差关系，即可得出∠PCD=∠CPE，∠PAB=∠APE，利用三角形的外角的性质，得出∠C=∠A+∠APC．

（1）图1，∠APC+∠A+∠C=360°；图2，∠APC=∠A+∠C；图3，∠C=∠A+∠APC；图4，A=∠C+∠APC．

（2）证明图1：

如图，过P点作，PE∥AB，则：∠A+∠APE=180°，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD

∴∠EPC+∠C=180°．

又∵∠APC=∠APE+∠EPC，

∴∠APC+∠A+∠C=360°；

证明图3：过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠PCD=∠CPE，∠PAB=∠APE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A，即∠C=∠A+∠APC