Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：

（1）△ABE≌△CFE；
（2）四边形ABFD是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ACD是等边三角形，

∴∠DCA=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠DCA=∠BAC，

在△ABE与△CFE中，

，

∴△ABE≌△CFE

（2）证明：∵E是AC的中点，

∴BE=EA，

∵∠BAE=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴△CEF是等边三角形，

∴∠CFE=60°，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠CDA=∠DCA=60°，

∴∠CFE=∠CDA，

∴BF∥AD，

∵∠DCA=∠BAC=60°，

∴AB∥DC，

∴四边形ABFD是平行四边形

【解析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DCA=60°等量代换得到∠DCA=∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，推出△CEF是等边三角形，证得∠CFE=∠CDA，求得BF∥AD，即可得到结论；本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)的相关知识才是答题的关键．