Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．
∴GH=EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°﹣α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH==90-． ∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH= ．
∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．
解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴ =，∴HE∥BD，
同理可证，GH∥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．
【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．