Question

【题目】如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.

（1）写出四边形的形状，并证明：

（2）若四边形的面积为12，，求.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEC，可得AF=CD，由直角三角形的性质可得AD=BD=CD，由菱形的判定是可证ADBF是菱形．
（2）由题意可得S△ABC=S四边形ADBF=12，可得AC的长，由勾股定理可求BC的长．

解：解：（1）四边形ADBF是菱形，
理由如下：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，且∠AEF=∠CED，AE=DE
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF=CD，
∵点D是BC的中点
∴BD=DC
∴AF=BD，且AF∥CD
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD，
∴平行四边形ADBF是菱形
（2）∵四边形ADBF的面积为12，
∴S△ABD=6
∵D是BC的中点
∴S△ABC=12=×AB×AC
∴12=×4×AC
∴AC=6，
∴BC=.