Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．

（1）求证：△BFH≌△DEG；

（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）四边形EGFH是菱形，理由见解析

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；

（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠FBH=∠EDG，

∵AE=CF，

∴BF=DE，

∵EG∥FH，

∴∠OHF=∠OGE，

∴∠BHF=∠DGE，

在△BFH和△DEG中，

，

∴BFH≌△DEG（AAS）；

（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：

连接DF，设EF交BD于O．如图所示：

由（1）得：BFH≌△DEG，

∴FH=EG，

又∵EG∥FH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，

∴△EDO≌△FBO，

∴OB=OD，

∵BF=DF，OB=OD，

∴EF⊥BD，

∴EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形．