Question

【题目】菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，运动速度都是，点由向运动；点由向运动，当到达点时，，两点运动停止，设时间为秒．连接，，．

　　　　

（1）当为何值时，；

（2）设的面积为，请写出与的函数关系式；

（3）当为何值时，的面积是四边形面积的；

（4）是否存在值，使得线段经过的中点；若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得，由此构建方程即可解决问题；

（2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根据y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，计算即可解决问题；

（3）由△APQ的面积是四边形AQPD面积的，推出S△APQ=2S△APD，由此构建方程即可解决问题；

（4）如图4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC=，可得，由此构建方程即可解决问题；

解：（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．

易知CH=，AH=

∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，

∴△COM∽△CHA，

∴，

∴，

∴OM=，

∵PQ⊥AB，CH⊥AB，

∴PQ∥CM，

∴，

∴，

∴t=1，

∴t=1s时，PQ⊥AB．

（2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，

∴∠COD=90°，

∴CD==5，

∵ACOD=CDAM，

∴AM=，

∵OQ=CP=t，

∴DQ=4+t．PD=5-t．

∵PH∥OC，

∴

∴，

∴PH=（5-t），

∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP

=（4+t）3+（4+t）（5-t）-（5-t）

=-t2+t（0＜t≤4）．

（3）如图2中，

∵△APQ的面积是四边形AQPD面积的，

∴S△APQ=2S△APD，

∴-t2+t=2（5-t），

解得t=15-或15+（舍弃），

∴t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的．

（4）如图4中，作PH⊥ACspan>于H．

∵OQ∥PH，ON=NC=，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=时，PQ经过线段OC的中点N．