Question

【题目】如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 点O在∠BAC的平分线上，理由见解析.

【解析】

(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再证∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD，则∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分线性质定理可证得.

(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.

又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)，

∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC.

又∵∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

(2)解：点O在∠BAC的平分线上．

理由如下：连接AO.由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD.

∵OB＝OC，∴OE＝OD.

又∵OE⊥AC，OD⊥AB，

∴点O在∠BAC的平分线上．