Question

【题目】如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；

∴AF=FD，即F是AD的中点；

又∵E是AB的中点，

∴EF是△ABD的中位线；

∴EF∥BC

（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；

∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，

∴S△ABD=4S△AEF=6，

∴S△AEF=1.5．

∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5

【解析】（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和三角形中位线定理，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能得出正确答案．