Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．

①请直接写出线段DG与PC的数量关系(不要求证明）；

②求证：四边形PEFD是菱形；

（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①DG＝2PC，理由见解析；②见解析；（2）四边形PEFD是菱形，理由见解析．

【解析】

（1）①结论：DG＝2PC，如图1中，作PM⊥AD于M．只要证明四边形PMDC是矩形，推出PC＝DM，再证明MG＝MD即可解决问题．

②由四边形PMDC是矩形得CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出PG＝PF，进而可得DP＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，再结合PD＝PE即可证明四边形PEFD是菱形；

（2）如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD＝PE，即可证明四边形PEFD是菱形．

解：（1）①结论：DG＝2PC．

理由：如图1中，作PM⊥AD于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠CDM＝∠DMP＝90°，AD＝CD，

∴四边形DCPM是矩形，

∴PC＝DM，

∵PD＝PG，PM⊥DG，

∴MG＝MD，

∴DG＝2PC．

线段DG与PC的数量关系为DG＝2PC．

②∵四边形CDMP是矩形，

∴CD＝PM，

∵AD＝CD，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DAF＝∠PMG＝∠GHD＝90°，

∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF +∠PGM＝90°，

∴∠AFD＝∠PGM，

在△ADF和△MPG中，

，

∴△ADF≌△GMP，

∴DF＝PG

∵PG＝PE＝PD，

∴DP＝PG＝PE＝PD，

∵∠FHG＝∠EPG＝90°，

∴DF∥PE，

∴四边形PEFD是平行四边形，

∵PD＝PE，

∴四边形PEFD是菱形．

（2）结论：四边形PEFD是菱形．

理由：如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，

∵∠DAF＝∠PMG＝∠DHG＝90°，

∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠G+∠GDH＝90°，

∵∠ADF＝∠GDH，

∴∠AFD＝∠G，

∵AD＝CD，CD＝PM，

∴AD＝PM，

在△ADF和△MPG中，

，

∴△ADF≌△MPG，

∴DP＝PG＝PE＝PD，

∵∠FHG＝∠EPG＝90°，

∴DF∥PE，

∴四边形PEFD是平行四边形，

∵PD＝PE，

∴四边形PEFD是菱形．