Question

【题目】如图，在△ABC中， AB=AC，D 为 BC 边上任意一点，以AD为底边向左侧作等腰△ADE，∠AED=∠ABC ，连接 ．

（1）如图 ① ，当∠ABC=60°时，易证：CD=BE（不需要证明）；

（2）当∠ABC=90°时，如图 ② ；当∠ABC=120°时，如图 ③ ；线段CD和BE又有怎样的关系? 并选择一个图形证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图②的结论是：；图 ③ 的结论是：，证明过程见解析.

【解析】

(1)△EAD为等腰三角形，当∠ABC=60°=∠AED时，可推出△AED为等边三角形，进一步证明△AEB≌△ADC，即得到CD=BE；

(2)当∠ABC=90°=∠AED时，此时△AED、△ABC变成等腰直角三角形，∴∠EAD=∠BAC=45°，可推出∠EAB=∠DAC，且，故可证明△AEB∽△ADC，即可得到；

当∠ABC=120°=∠AED时，此时△AED、△ABC变成30°、30°、120°的等腰三角形，同样可证明△AEB∽△ADC，即可得到.

解：(1) 证明：∵△EAD为等腰三角形，且∠ABC=60°=∠AED，

∴△AED变成等边三角形，∴∠EAD=∠BAC，

又∠EAB=60°-∠BAD，∠DAC=60°-∠BAD

∴∠EAB=∠DAC，

在△AEB和△ADC中：

∴△AEB≌△ADC，

∴CD=BE.

(2)图②的结论是：

图③的结论是：．

下面选择图②进行证明：

证明：

∴△AED，△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠BAD=45°

∴∠CAD=∠BAE

∴△BAE∽△CAD

.

故答案为：.