Question

【题目】如图，在ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．

（1）求证：DA＝DF；

（2）若∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝2，求ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案；

（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠BAF＝∠F．

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF．

∴∠F＝∠DAF．

∴AD＝FD．

（2）解：∵∠ADE＝∠CDE＝30°，AD＝FD，

∴DE⊥AF．

∵tan∠ADE＝，

∴AE＝2．

∴S平行四边形ABCD＝2S△ADE＝AEDE＝4．