Question

【题目】如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴CE=BD，

又∵CD是边AB上的中线，

∴BD=AD，

∴CE=DA，

又∵CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴AD=CD，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，

由（1）可知，BC=DE，

设BC=x，则AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= = x．

∵ ABCF= ACBC，

∴CF= = x．

∵CD= AB= x，

∴sin∠CDB= = ．

【解析】（1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE是菱形；（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，继而求得答案．
【考点精析】掌握勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．