Question

【题目】如图，边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；

②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值。其中一定成立的是_______.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①如图1，作AU⊥NQ于U，交BD于H，连接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四点共圆，

∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴AM=MN；

②由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，

∴Rt△AHM≌Rt△MPN，

∴MP=AH=AC=BD；

③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，

∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，

∴△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，

∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ；

④如图2，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，

∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，

∴△AMS≌△NMW

∴AS=NW，

∴AB+BN=SB+BW=2BW，

∵BW:BM=1: ，

∴.

故答案为：①②③④