Question

【题目】如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（，0）作CD交AB于D，交轴于点E.且△COE≌△BOA.

（1）求B点坐标为 ；线段OA的长为 ；

（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；

（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN.

①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；

②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积.

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），OA=3；（2）CD：，D（，）；（3）①OM=ON保持不变，见解析；②当OM最小时，△OMN面积最小为，此时OM∥AB，M（，）

【解析】

（1）令x=0求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出OA的长；

（2）根据△COE≌△BOA求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可；

（3）①先证明△COM≌△BON，根据全等三角形的判定和性质得出OM=ON；

②由△OMN面积=可知当OM⊥CD时，△OMN面积的面积最小，设M(x, )，利用面积法求解即可.

解：（1）当x=0时，，

∴B（0，4）；

当y=0时，

，

∴x=3，

∴A(3，0)，

∵OA =3；

（2）∵△COE≌△BOA，

∴OE=OA=3，

∴E（0，3）.

设CD解析式为y=kx+b，

把C（，0），E（0，3）代入得

，

解得

，

∴；

解 得，

∴D（，）；

（3）①线段OM与ON数量关系不变，OM=ON，理由：

∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM与△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON；

（3）△OMN面积=，

∴当OM⊥CD时，△OMN面积的面积最小，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCE=∠DBE，

∵∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠BED+∠DBE=90°，

∴CD⊥AD,

∴OM∥AB,

∵,

∴,

解得，

∴M（，）.